汚れた水を綺麗にする５つの分離技術を化学工学を交えて解説

交換反応の式は

$$A^{\pm}+\left(\frac{z_A}{z_B}\right)BR\rightleftharpoons\left(\frac{z_A}{z_B}\right)B^{\pm}+AR$$

質量作用の法則より、濃度基準の平衡定数\({K_B}^A\)の平衡関係は以下のようになる

$${K_B}^A=\left(\frac{\overline{c}_A}{c_A}\right)/\left(\frac{\overline{c}_B}{c_B}\right)^{{z_A}/{z_B}}$$

ここで、樹脂の全交換容量\(Q_0(=\overline{c}_A+\overline{c}_B)\)、液の全イオン濃度\(c_0(=c_A+c_B)\)より、

$${K_B}^A\left(\frac{Q_0}{c_0}\right)^{\frac{x_A}{x_B}-1}=\frac{(1-x_A)^{z_A/z_B}y_A}{x_A(1-y_A)^{z_A/z_B}}$$

$$x_A=c_A/c_0 , y_A=\overline{c}_A/Q$$

平衡定数の値＆イオン交換平衡関係から、分離のしやすさが分かる

「登場した記号まとめ」

\(z_A[-]\):Aのイオン価

\(z_B[-]\):Bのイオン価

\({K_B}^A[-]\):イオン交換の平衡係数

\(c_A[keq/m^3]\):Aのイオン濃度

\(c_B[keq/m^3]\):Bのイオン濃度

\(\overline{c}_A[keq/m^3]\):Aイオンの樹脂相濃度

\(\overline{c}_B[keq/m^3]\):Bイオンの樹脂相濃度

\(Q_0[keq/m^3]\):樹脂の全交換容量

\(c_0[keq/m^3]\):溶液の全イオン濃度

\(x_A[-]\):Aイオンの液相イオン率

\(y_A[-]\):Aイオンの樹脂相イオン率

ラングミュア型吸着等温線：　単分子層吸着を仮定した式

$$q=\frac{{q_s}Kp}{1+Kp}$$

フロインドリッヒ型吸着等温線：　液相吸着の際に適合する式

$$q=kp^{1/n}$$

BET型吸着等温線：　分子が積み重なって多分子層を形成し、無限に吸着できると仮定した式

$$q=\frac{{q_m}bx}{(1-x)(1-x+bx)}$$

物質と吸着材への吸着のしやすさによって、単位吸着量と吸着率に差が生まれる

「登場した記号まとめ」

\(q[kg/kg]\):単位吸着材量に対する平衡吸着量

\(q_s[kg]\):飽和吸着量

\(K[-]\):吸着平衡定数

\(p[-]\):吸着質の分圧

\(k[-]\):フロインドリッヒ定数

\(n[-]\):フロインドリッヒ定数

\(q_m[kg]\):単分子層の飽和吸着量

\(x[-](=p/p_0)\):比圧(\(p\):平衡圧、\(p_0\):飽和蒸気圧)

\(b[-]\):定数

ろ材の単位面積当たりのろ液量\(V[m^3/m^2]\)、ろ過時間\(t[s]\)とする

ろ過速度\(dV/dt\)は、ケーキ抵抗\(R_C[1/m]\)とろ材の抵抗\(R_M[1/m]\)の和に反比例、

ろ過の圧力差\(\Delta{P}(=P_1-P_2)[kg/m{\cdot}s]\)に比例するため、

$$\frac{dV}{dt}=\frac{{\Delta}P}{{\mu}(R_C+R_M)}\tag{1}$$

また、ろ過速度が時間経過とともに小さくなる事から、ケーキ厚さがろ液量に比例すると仮定した場合、ケーキ抵抗\(R_C\)は、

$$R_C={\alpha}CV\tag{2}$$

記号の意味はそれぞれ、\(C[kg/m^3]\):固体粒子の濃度、\({\alpha}[m/kg]\):比例定数

(2)を(1)に代入すると、

$$\frac{dV}{dt}=\frac{{\Delta}P}{{\mu}({\alpha}CV+R_M)}\tag{3}$$

さらに、ろ過定数を下記のように置く

$$V_0=\frac{R_M}{{\alpha}C}\tag{4}$$

$$a=\frac{1}{{\mu}{\alpha}C}\tag{5}$$

ろ過定数(4)、(5)を利用して、(3)を変形する

$$\frac{dV}{dt}=\frac{a{\Delta}P}{V+V_0}\tag{6}$$

(6)の基礎式を、ろ過の操作に応じて展開していく

「登場した記号まとめ」

\(V[m^3/m^2]\):単位面積当たりのろ液量

\(t[s]\):ろ過時間

\(R_C[1/m]\):ケーキ抵抗

\(R_M[1/m]\):ろ材の抵抗

\({\Delta}P[Pa]\):ろ過圧

\(\mu[Pa{\cdot}s]\):粘度

\(C[kg/m^3]\):固体粒子の濃度

\(\alpha[m/kg]\):比例定数

\(V_0[m^3/m^2]\):ろ過定数

\(a[m^3{\cdot}s/kg]\):ろ過定数

粒子の流体中の動きを式で表すと、粒子の質量×加速度＝重力-浮力-流体抵抗力の関係が成り立つので、

$${{\rho}_p}{V_p}\frac{du}{dt}=({{\rho}_p}-{\rho}){V_p}g-R_f\tag{1}$$

記号の意味はそれぞれ、\({\rho}_p[kg/m^3]\):粒子の密度、\(V_p[m^3]\):粒子の体積、\(\rho[kg/m^3]\):流体の密度、\(g[m/s^2]\):重力加速度、\(R_f[N=kg/m{\cdot}s^2]\):流体抵抗力

抵抗力は粒子の面積に対して逆向きの流れになるので、

$$R_f=C_D\frac{1}{2}{\rho}{u^2}A_p\tag{2}$$

記号の意味はそれぞれ、\(C_D[-]\):抵抗係数、\(u[m/s]\):流体の速度、\(A_p\):粒子の面積

粒子の体積\(V_p\)や面積\(A_p\)を直径\(d_p\)の球と考えると、

$$V_p=\frac{\pi}{6}{d_p}^3\tag{3}$$

$$A_p=\frac{\pi}{4}{d_p}^2\tag{4}$$

(2)、(3)、(4)を(1)に代入すると、

$$\frac{du}{dt}=\left(1-\frac{\rho}{{\rho}_p}\right)g-\frac{3{\rho}u^2}{4{{\rho}_p}{d_p}}C_D\tag{5}$$

静止状態から運動を始めて、式に従って時間と共に粒子は加速、一方で抵抗力が増加する

十分な時間が経過し、加速と抵抗が等しくなると加速度は０になり、それ以降は等速になる

このときの速度\(u_∞\)を終末速度といい、(5)で\(du/dt=0\)とすると、

$$u_∞=\sqrt\frac{4g{d_p}({\rho_p}-{\rho})}{3{\rho}C_{D∞}}\tag{6}$$

抵抗係数は粒子周りの流れの状態を表すレイノルズ数の関数になるので、

$$Re=\frac{{\rho}ud_p}{\mu}\tag{7}$$

また、レイノルズ数が以下の範囲では、抵抗係数とレイノルズ数の関係は、

$$Re\lt0.4\tag{8}$$

$$C_D=\frac{24}{Re}\tag{9}$$

上記の関係をストークスの法則といい、レイノルズ数が小さい範囲でこの関係が成り立つ

(9)を(6)に代入すると、

$$u_∞=\sqrt\frac{4g{d_p}({\rho_p}-{\rho})}{3{\rho}C_{D∞}}=\frac{g{{d_p}^2}(\rho_p-\rho)}{18\mu}$$

粒子の見かけ密度を変えて、沈降もしくは浮上の運動になる

「登場した記号まとめ」

\(\rho_p[kg/m^3]\):粒子の密度

\(V_p[m^3]\):粒子の体積

\(\rho[kg/m^3]\):流体の密度

\(g[kg/s^2]\):重力加速度

\(R_f[N=kg/m{\cdot}s^2]\):流体抵抗力

\(C_D[-]\):抵抗係数

\(u[m/s]\):流速

\(A_p[m^2]\):粒子の面積

\(d_p[m]\):液滴径

\(u_∞[m/s]\):終末速度

\(Re[-]\):レイノルズ数